在这里插入图片描述

# 起步

求 x 的 n 次幂（先只谈论n非负）

# 暴力解法

$$x^{n} = x · x · x ··· x$$ (n个x相乘)

【暴力解法】关键步骤

let result = 1
while(n > 0){
    result *= x
    n--
}

循环n次，时间复杂度是O(N)

# 快速幂

【快速幂】的关键步骤

先举一个例子求 x 的 100 次幂

暴力解法就是

$$x^{100} = x · x · x ··· x$$ (100个x相乘)

因为100的二进制是1100100，所以

$$100 = 0·2^0 + 0·2^1 + 1·2^2 + 0·2^3 + 0·2^4 + 1·2^5 + 1·2^6 $$

也就是

$$100 = 2^2 + 2^5 + 2^6 $$

所以我们可以简化求解公式

$$x^{100} = x^{2^2} · x^{2^5} · x^{2^6}$$

let result = 1
// 当 n === 0 的时候没有进循环，结果就是result === 1
while (n > 0) {
    // 判断当前最低位是否是1
    if ((n & 1) === 1) result *= x
    x *= x
    n >>>= 1 // 无符号右移，删除最低位
}

循环 $log_2 N$次，时间复杂度是 O(logN)

# LeetCode 50. Pow(x, n)

我们来看LeetCode上的一道求幂的题目 50. Pow(x, n) (opens new window)

关键步骤是一样，主要是要考虑负数次幂的情况

var myPow = function(x, n) {
    let result = 1

    let flag = false
    if(n < 0){
        flag = true
        n = -n
    }

    while (n > 0) {
        if ((n & 1) === 1) result *= x
        x *= x
        n >>>= 1
    }
    if(flag){
        result = parseFloat(1/result)
    }
    return result
};

还有一个更加简洁一点的代码，我给他起名字叫前处理

var myPow = function(x, n) {
    let result = 1

    if(n < 0){
        x = parseFloat(1/x)
        n = -n
    }

    while (n > 0) {
        if ((n & 1) === 1) result *= x;
        x *= x
        n >>>= 1;
    }
    
    return result
};

自然，第一种就是后处理，把正数解求出来，然后在最后取一个倒数就可以了

可以看到，后处理的效率要比先处理的效率高，这是我第一次提交时候的比较，但是我今天又试了一次

结果就是这样的了，JS在LeetCode中的效率问题真是一个迷啊~ 我在这里就不做过多讨论了，有机会再研究研究

# 求大数的幂的最后一位

我们来加大一下难度: 传入的两个非负数字是字符串，可能是很大的数；同时再简化一下题目~(逃): 返回结果的最后一位即可

【要求】求 $a^b$ 的最后一位数字，a、b可能会很大

【分析】求$a^b$的最后一位数字，只要求最后一位，那不管a有多大，我们只需要计算a最后一位c的 $c^b$的结果即可

let a = +str1[str1.length - 1];

接下来就是快速幂的过程

while (b > 0) { 
    if ((b & 1) === 1) result = (result * a) % 10; 
    a = (a * a) % 10; 
    b >>>= 1; 
}

由于只需要最后一位，所以就在操作（在result与a）中 %10，取到个位数

所以完整代码是这样的

function yk(str1, str2) {
  let a = +str1[str1.length - 1];
  let b = +str2;
  if (a === 0) return 0;
  let result = 1;

  while (b > 0) {
    if ((b & 1) === 1) result = (result * a) % 10;
    a = (a * a) % 10;
    b >>>= 1;
  }

  return result;
}

const res = yk("24979", "8");
console.log(res); // 1

# 字符串重复n次

拓展一下，讲一个字符串str重复count次，我们使用快速幂的思想

function repeat(str, count) {
  var result = "";
  while (count > 0) {
    if ((count & 1) == 1) result += str;
    count >>>= 1;
    str += str;
  }
  return result;
}
const res = repeat("*", 10)
console.log(res) // **********

# 总结

使用快速幂可以降低求幂次的时间复杂度

快速幂有统一形式，可以进行拓展

排序算法斐波那契

YK菌

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